Sådan lægger du brøker sammen

Brøker kan lægges sammen, hvilket betyder at vi kombinerer to portioner til én samlet portion. Det fungerer ganske enkelt, så længe begge pizzaer er delt op i lige mange stykker.

Hvis vi f.eks. vil lægge $\tfrac{3}{7}$ og $\tfrac{2}{7}$ sammen, lægger vi bare tællerne sammen, fordi nævnerne allerede er ens:

$$\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$$

3 syvendedele plus 2 syvendedele giver 5 syvendedele. Nævneren bliver stående, fordi alle stykker stadig er syvendedele af en pizza.

Når nævnerne er forskellige

Det bliver sværere, hvis nævnerne ikke er ens. Hvis vi f.eks. skal lægge $\tfrac{3}{5}$ og $\tfrac{1}{2}$ sammen,

$$\frac{3}{5} + \frac{1}{2}$$

så kan vi ikke bare lægge tællerne sammen. Pizzaerne er nemlig delt op i forskelligt antal stykker. Femtedele og halve er ikke samme størrelse, så det giver ikke mening at sige at 3 femtedele plus 1 halv giver 4 syvendedele. Det er den klassiske fejl.

Det vi gør, er at få brøkerne til at se ens ud nedenunder først. Det gør vi ved at forlænge.

Trin 1: Forlæng den første brøk

En smart ting at gøre er at forlænge brøkerne med hinandens nævnere. Det lyder lidt mærkeligt, men det vil sige, at når vi forlænger den første brøk $\tfrac{3}{5}$, så ganger vi både tæller og nævner med $2$, som jo er nævneren fra den anden brøk:

$$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$$

Trin 2: Forlæng den anden brøk

Nu gør vi det også med den anden brøk. Vi ganger med $5$, fordi det er nævneren fra den første brøk:

$$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$$

Altså: nu har vi to nye forlængede brøker, som har den samme nævner!

Trin 3: Læg tællerne sammen

Og når nævnerne er ens, ligger det jo ligetil. Vi lægger tællerne sammen, og nævneren bliver stående:

$$\frac{6}{10} + \frac{5}{10} = \frac{11}{10}$$

Jeg plejer altid at forlænge med hinandens nævnere på den her måde. Det er ikke det mest elegante valg, hvis tallene er store (du kan nogle gange nøjes med mindre tal), men det er altid rigtigt og altid let at huske.

Tjek og forkort til sidst

Vi kan tjekke om det er rigtigt, da vi ved at $\tfrac{3}{5}$ er lidt mere end en halv, og $\tfrac{1}{2}$ er præcis en halv. Svaret bør derfor være lidt over 1. Og $\tfrac{11}{10}$ er netop $1 + \tfrac{1}{10}$, så det passer.

Den her brøk kan ikke forkortes, fordi 10 og 11 ikke har en fælles faktor. Men det er altid en god idé at prøve at forkorte til sidst, så svaret bliver pænt.

Almindelige fejl

• "Jeg ganger tæller med tæller og nævner med nævner, ligesom når jeg ganger brøker." Det er den klassiske fejl. Forskellen er, at vi laver et helt selvstændigt skridt først, hvor vi finder en fælles nævner. Bagefter lægger vi kun tællerne sammen.
• "Jeg ganger kun tælleren med det andet tal, ikke nævneren." Når du forlænger, skal det samme tal gange både tæller og nævner. Ellers ændrer du brøkens værdi, og så er det ikke længere den samme brøk.
• "Jeg ved ikke hvilket tal jeg skal forlænge med." Det enkleste valg er altid den anden brøks nævner. Det giver dig altid en gyldig fælles nævner, uden at du behøver at tænke over det.
• "Jeg glemmer at forkorte til sidst." Et svar som $\tfrac{6}{8}$ er rigtigt, men $\tfrac{3}{4}$ er pænere. Det er altid en god idé at forkorte mest muligt, så svaret er nemt at sammenligne med andres.

Hvor til herfra

Forlænge-skridtet er det sværeste i hele bevægelsen, og det har sin egen guide: Sådan forlænger du brøker. Det grundlæggende fundament under det hele ligger i Hvad er brøker?.