Sådan dividerer du brøker

Brøker kan divideres med hinanden, hvilket betyder at vi vender den ene brøk om og ganger i stedet. Det er en kort regel, men den åbner op for, at vi kan regne division præcis som multiplikation.

Hvis vi f.eks. skal regne $\tfrac{3}{5} : \tfrac{1}{2}$, så vender vi $\tfrac{1}{2}$ om, så den bliver $\tfrac{2}{1}$, og ganger:

$$\frac{3}{5} : \frac{1}{2} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{1} = \frac{6}{5}$$

Altså: $\tfrac{3}{5}$ divideret med $\tfrac{1}{2}$ giver $\tfrac{6}{5}$, som er lidt over $1$.

Hvorfor virker det?

Det lyder mærkeligt, at division pludselig bliver til multiplikation, men det er det samme spørgsmål, der bliver stillet på en anden måde. Når vi dividerer med $\tfrac{1}{2}$, spørger vi: hvor mange halve er der plads til? Svaret er det dobbelte, fordi der jo går to halve på én hel. Og at gange med $\tfrac{2}{1}$ betyder netop det samme: tag tallet og gør det dobbelt så stort.

Vi kan tjekke om det er rigtigt, da vi ved, at $\tfrac{3}{5}$ er lidt mere end en halv. At dividere det med en halv burde derfor give lidt mere end $1$. Og $\tfrac{6}{5} = 1 + \tfrac{1}{5}$, altså lidt over $1$. Det passer.

Et eksempel mere

Tag $\tfrac{4}{7} : \tfrac{2}{3}$. Vi vender $\tfrac{2}{3}$ om til $\tfrac{3}{2}$ og ganger:

$$\frac{4}{7} : \frac{2}{3} = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$$

Til sidst forkorter vi. $12$ og $14$ har $2$ til fælles, så $\tfrac{12}{14} = \tfrac{6}{7}$.

Hvis du dividerer med et heltal

Et heltal er en brøk med $1$ i nævneren, så reglen er den samme. Hvis du fx skal regne $\tfrac{3}{4} : 2$, så skriver du $2$ som $\tfrac{2}{1}$, vender den om til $\tfrac{1}{2}$, og ganger:

$$\frac{3}{4} : 2 = \frac{3}{4} : \frac{2}{1} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$$

At dividere en brøk med $2$ giver halvdelen, og $\tfrac{3}{8}$ er netop halvdelen af $\tfrac{3}{4}$.

Almindelige fejl

• "Jeg dividerer tæller med tæller og nævner med nævner." Det fungerer kun i specielle tilfælde og er ikke reglen. Reglen er: vend den anden brøk om og gang.
• "Jeg vender den første brøk om." Nej, det er altid den anden, altså den du dividerer med. Hvis du vender den første om, har du regnet et helt andet stykke.
• "Jeg glemmer at forkorte til sidst." Et svar som $\tfrac{12}{14}$ er rigtigt, men $\tfrac{6}{7}$ er pænere. Det er altid en god idé at forkorte mest muligt.
• "Jeg ved ikke, hvad den omvendte af et heltal er." Et heltal kan skrives som en brøk med $1$ i nævneren ($3 = \tfrac{3}{1}$), så den omvendte er $\tfrac{1}{3}$.

Hvor til herfra

Når du dividerer brøker, bygger du faktisk videre på multiplikationen, så hvis du er usikker på det skridt, er Sådan ganger du brøker sammen det rigtige sted at gå. Det grundlæggende fundament ligger i Hvad er brøker?.