Sådan ganger du brøker sammen

Brøker kan ganges sammen, hvilket betyder at vi ganger tæller med tæller og nævner med nævner. Det er den simpleste regneart for brøker, simplere end at lægge sammen.

Hvis vi f.eks. har $\tfrac{3}{8}$ og $\tfrac{2}{6}$, ganger vi de to tæller og de to nævner direkte:

$$\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{6} = \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 6} = \frac{6}{48}$$

Det er det rigtige svar, men det ser ikke pænt ud. Det første vi gør, er at forkorte. $6$ går op i både $6$ og $48$, så vi dividerer både tæller og nævner med $6$:

$$\frac{6}{48} = \frac{1}{8}$$

Altså: $\tfrac{3}{8} \cdot \tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{8}$.

Jeg plejer altid at prøve at finde et tal, som både går op i tæller og nævner, som vi kan forkorte med. Hvis du ikke ser det med det samme, så kig efter $2$, $3$ eller $5$. De fleste brøker, der kommer ud af en multiplikation, kan forkortes med en af dem.

Hvorfor er gange enklere end plus?

Det er værd at lægge mærke til, at reglen er anderledes end den, vi bruger, når vi lægger brøker sammen. For at lægge sammen skal vi have fælles nævner. For at gange skal vi bare gange tæller med tæller og nævner med nævner, lige som regnereglen "plus gange plus giver plus".

Grunden er, at gange handler om "en brøk af en brøk". Hvis vi tager $\tfrac{2}{6}$ og spørger "hvor meget er $\tfrac{3}{8}$ af det?", så har vi brug for både tællernes og nævnernes ganging. Det er en helt anden bevægelse end at lægge to portioner sammen.

Forkort før du ganger, hvis du kan

Hvis tallene er store, sparer du tit arbejde ved at forkorte først. Tag $\tfrac{4}{9} \cdot \tfrac{3}{8}$. Hvis vi ganger direkte, får vi:

$$\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{72}$$

og så skal vi forkorte $\tfrac{12}{72}$. Men hvis vi havde set, at $4$ og $8$ har $4$ til fælles, og $3$ og $9$ har $3$ til fælles, kunne vi have forkortet på kryds inden multiplikationen:

$$\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$$

Det er det samme svar, bare med mindre tal at jonglere med. Det her er ikke et must, men det er en god vane at få øje på.

Almindelige fejl

• "Jeg skal også finde en fælles nævner, ligesom når jeg lægger sammen." Nej. Det er kun for plus, ikke for gange. Når du ganger, ganger du bare tæller med tæller og nævner med nævner.
• "Jeg ganger tællerne, men ikke nævnerne." Begge skal ganges. Tæller med tæller, nævner med nævner. Glemmer du den ene, har du faktisk lavet en forlænget brøk i stedet for en multiplikation.
• "Jeg glemmer at forkorte til sidst." Et svar som $\tfrac{6}{48}$ er rigtigt, men $\tfrac{1}{8}$ er pænere. Det er altid en god idé at forkorte mest muligt, så svaret er nemt at sammenligne med andres.

Hvor til herfra

Hvis du har brug for at dividere brøker, ligger det tæt på det her. Du vender den ene brøk om og ganger så på samme måde som her. Se Sådan dividerer du brøker for den fulde gennemgang. Det grundlæggende fundament under det hele ligger i Hvad er brøker?.